小学奥数例题之列方程

重庆千豪教育

2024-11-27

导语

在奥数领域，列方程乃是一种极为重要的解题方式。其能够将复杂的数学问题以代数的形式予以呈现，通过对方程的求解得出未知数的值，进而解决相应问题。此种方法可以将实际问题中的数量关系清晰地展露出来，尤其在涉及多个未知量以及复杂数量关系的题目中适用性极强。

1. 列方程问题的重要性
在奥数中，列方程是一种非常重要的解题方法。它可以将复杂的数学问题用代数的形式表示出来，通过解方程求出未知数的值，从而解决问题。这种方法能够将实际问题中的数量关系清晰地展现出来，尤其适用于涉及多个未知量以及复杂的数量关系的题目。例如，在行程问题、工程问题、年龄问题、浓度问题等多种奥数题型中，列方程都是一种高效的解题手段。

2. 列方程的步骤
设未知数：这是列方程的第一步。通常可以根据题目中的问题或者数量关系来设未知数。设未知数有直接设元和间接设元两种方式。
直接设元：如果题目要求的量比较明确，就可以直接设这个量为未知数。例如，“一个数的3倍加上5等于14，求这个数”，可以直接设这个数为\(x\)，则方程为\(3x + 5=14\)。
间接设元：当直接设未知数不容易列出方程时，可以考虑间接设元。比如在“甲、乙两人的速度之和是10米/秒，甲走完全程比乙走完全程多用2秒，已知路程为60米，求甲、乙两人的速度”这个问题中，直接设甲或乙的速度为未知数列出方程可能会比较复杂，此时可以设甲走完全程所用的时间为\(x\)秒，则乙走完全程所用的时间为\((x - 2)\)秒，根据速度 = 路程÷时间，可列出方程\(\frac{60}{x}+\frac{60}{x - 2}=10\)。
找出等量关系：这是列方程的关键步骤。等量关系是指题目中表示两个量相等的语句或者数学表达式。常见的等量关系有以下几种：
和差关系：如“甲和乙的和是10”，可表示为\(甲+乙 = 10\)；“甲比乙多3”，可表示为\(甲-乙 = 3\)。
倍数关系：例如“甲是乙的2倍”，可表示为\(甲 = 2×乙\)。
行程问题中的等量关系：路程 = 速度×时间。如果是相遇问题，等量关系通常是“甲走的路程+乙走的路程 = 总路程”；如果是追及问题，等量关系是“快者走的路程-慢者走的路程 = 两者最初的距离”。
工程问题中的等量关系：工作总量 = 工作效率×工作时间。一般会有“甲的工作量+乙的工作量 = 工作总量”这样的等量关系。
列出方程并求解：根据找出的等量关系，将所设的未知数代入其中，列出方程。然后通过移项、合并同类项等操作解方程，求出未知数的值。例如，对于方程\(3x + 5=14\)，首先移项得到\(3x=14 - 5\)，即\(3x = 9\)，然后两边同时除以3，解得\(x = 3\)。

3. 列方程问题的常见题型及解法
行程问题
相遇问题：例如，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度是\(v_1\)，乙的速度是\(v_2\)，经过\(t\)时间相遇，A、B两地的距离为\(s\)。根据“甲走的路程+乙走的路程 = 总路程”这一等量关系，可列出方程\(v_1t+v_2t = s\)。
追及问题：甲、乙两人同向而行，甲的速度是\(v_1\)，乙的速度是\(v_2\)（\(v_1>v_2\)），开始时两人相距\(s_0\)，经过\(t\)时间甲追上乙。根据“快者走的路程-慢者走的路程 = 两者最初的距离”，可列出方程\(v_1t - v_2t=s_0\)。
工程问题：一项工程，甲单独做需要\(x\)天完成，乙单独做需要\(y\)天完成，两人合作需要\(z\)天完成。把工作总量看作单位“1”，则甲的工作效率是\(\frac{1}{x}\)，乙的工作效率是\(\frac{1}{y}\)，根据“甲的工作量+乙的工作量 = 工作总量”，可列出方程\((\frac{1}{x}+\frac{1}{y})z = 1\)。
年龄问题：例如，父亲今年\(x\)岁，儿子今年\(y\)岁，经过\(n\)年后，父亲的年龄是儿子年龄的\(m\)倍。根据年龄的增长规律，可列出方程\(x + n=m(y + n)\)。
浓度问题：有两种不同浓度的溶液，一种溶液的质量是\(m_1\)，浓度是\(c_1\)，另一种溶液的质量是\(m_2\)，浓度是\(c_2\)，混合后溶液的浓度是\(c\)。根据“溶质质量 = 溶液质量×浓度”，混合前后溶质的质量不变，可列出方程\(m_1c_1+m_2c_2=(m_1 + m_2)c\)。