小学奥数题型之差倍问题

差倍问题乃是小学奥数之中基础且至关重要的题型。其能够助力学生构建起对数量关系的分析能力，对于后续研习更为复杂的数学应用题以及代数方程的理解均具有良好的铺垫效用。

1. 差倍问题的基本概念
定义：差倍问题是已知两个数的差以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题。例如，已知甲数比乙数多24，且甲数是乙数的4倍，要求出甲数和乙数分别是多少。
重要性：差倍问题是小学奥数中的基础且重要的题型，它能够帮助学生建立数量关系的分析能力，对于后续学习更复杂的数学应用题以及代数方程的理解都有很好的铺垫作用。

2. 差倍问题的基本公式和解题思路
基本公式：较小数 = 差÷(倍数 - 1)；较大数 = 较小数×倍数或者较大数 = 较小数 + 差。
解题思路：首先要确定两个数的差和倍数关系，然后根据公式求出较小数，再通过倍数关系或者加上差的方式求出较大数。例如，在上述甲数和乙数的例子中，倍数是4，差是24。先求乙数（较小数），根据公式乙数 = \(24÷(4 - 1)=8\)，再求甲数（较大数），可以用乙数×倍数，即甲数 = \(8×4 = 32\)，也可以用乙数 + 差，即甲数 = \(8 + 24 = 32\)。

3. 差倍问题的常见题型及解法
直接给出差和倍数关系的题目
典型例题：妈妈的年龄是小明年龄的5倍，妈妈比小明大32岁，求妈妈和小明各多少岁？
分析与解答：已知倍数是5，差是32岁。根据公式先求小明的年龄（较小数），小明年龄 = \(32÷(5 - 1)=8\)岁，妈妈的年龄（较大数） = \(8×5 = 40\)岁。
需要先找出差和倍数关系的题目
典型例题：有两根铁丝，第一根铁丝的长度是第二根铁丝长度的3倍，如果从第一根铁丝上截取10米接到第二根铁丝上，两根铁丝就一样长了，求两根铁丝原来各长多少米？
分析与解答：首先分析差和倍数关系。从第一根铁丝截取10米接到第二根铁丝上两根铁丝一样长，说明原来第一根铁丝比第二根铁丝长\(10×2 = 20\)米，这就是差，倍数是3。根据公式，第二根铁丝（较小数）长度 = \(20÷(3 - 1)=10\)米，第一根铁丝（较大数）长度 = \(10×3 = 30\)米。

涉及多个数量的差倍问题
典型例题：甲、乙、丙三个数的和是180，甲数是乙数的3倍，乙数是丙数的2倍，求甲、乙、丙三个数各是多少？
分析与解答：这是一个多个数量的差倍问题，我们先找出它们之间的倍数关系。设丙数为1份，乙数就是2份，甲数就是\(2×3 = 6\)份。那么三个数的总和对应的份数就是\(1 + 2 + 6 = 9\)份。一份的数量（丙数） = \(180÷9 = 20\)，乙数 = \(20×2 = 40\)，甲数 = \(40×3 = 120\)。

4. 差倍问题与其他数学概念的结合应用
与和差问题结合：例如，已知两个数的和是50，它们的差是10，且一个数是另一个数的3倍，求这两个数。需要先根据和差问题的公式求出两个数（和差问题公式：大数=(和 + 差)÷2，小数=(和 - 差)÷2），再结合差倍问题来验证倍数关系是否符合题意。
与分数、百分数结合：如某工厂男职工人数比女职工人数多20%，男职工人数是女职工人数的\(1 + 20\%=1.2\)倍，又已知男女职工人数差是30人，求男女职工人数。在这种情况下，要先将百分数转化为倍数关系，再利用差倍问题的公式进行求解。

5. 奥数题型：差倍问题

【含义】已知两个数的差及“大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几）”，求这两个数各是多少。

【数量关系】

两个数的差÷（倍数-1）=较小数

较小数×倍数=较大数

【解题思路】简单题目直接套用上述公式，复杂题目变通后再套用公式。

【例】果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树度124棵，求杏树和桃树各有多少棵？

解：先求杏树有多少棵——124÷（3-1）=62（棵）

再求桃树有多少棵——62×3=186（棵）

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