小学奥数题型之盈亏问题

重庆千豪教育

2024-11-27

导语

盈亏问题乃是将一定数量的物品平均分配给一定数量的人，只因分配标准有所不同，从而致使分配结果出现有盈（存有剩余）或者亏（存在不足）的状况。

1. 盈亏问题的基本概念
定义：盈亏问题是把一定数量的物品平均分给一定数量的人，由于分配标准不同而产生的分配结果有盈（有余）或亏（不足）的情况。例如，将一些苹果分给小朋友，每人分3个苹果，还剩5个（盈）；每人分4个苹果，还差3个（亏）。
重要性：盈亏问题是奥数中的经典题型，能够培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力，帮助学生理解分配问题中的数量关系，并且这种思维方式在很多其他数学问题以及生活场景中都有广泛的应用。

2. 盈亏问题的基本类型及公式
一盈一亏型
公式：人数 =（盈 + 亏）÷（两次分配差）。
示例：老师将一些铅笔分给学生，如果每人分5支，还多10支；如果每人分7支，还少2支。这里盈是10支，亏是2支，两次分配差是\(7 - 5 = 2\)支。则学生人数为\((10 + 2)÷(7 - 5)=6\)人，铅笔总数为\(5×6 + 10 = 40\)支。
双盈型
公式：人数 =（大盈 - 小盈）÷（两次分配差）。
示例：有一些本子分给小朋友，每人分4本，多出12本；每人分6本，多出4本。这里大盈是12本，小盈是4本，两次分配差是\(6 - 4 = 2\)本。则小朋友人数为\((12 - 4)÷(6 - 4)=4\)人，本子总数为\(4×4 + 12 = 28\)本。
双亏型
公式：人数 =（大亏 - 小亏）÷（两次分配差）。
示例：将一批水果分给工人，每人分8个，少10个；每人分10个，少22个。这里大亏是22个，小亏是10个，两次分配差是\(10 - 8 = 2\)个。则工人人数为\((22 - 10)÷(10 - 8)=6\)人，水果总数为\(8×6 - 10 = 38\)个。

3. 盈亏问题的解题步骤
步骤一：确定盈亏类型
仔细分析题目中的条件，判断是一盈一亏、双盈还是双亏的情况。例如，当题目中出现“剩余多少”和“缺少多少”的描述时，可能是一盈一亏型；如果都是“剩余”的情况，要考虑双盈型；都是“缺少”的情况，则可能是双亏型。
步骤二：找出分配差和盈亏数
明确两次分配的数量差异，即分配差。同时，准确找出盈数或者亏数。例如，在分糖果的问题中，第一次每人分3颗，第二次每人分5颗，分配差就是\(5 - 3 = 2\)颗。如果第一次分完后还剩8颗（盈），第二次分完还差4颗（亏），就需要根据盈亏问题的类型来使用相应的盈亏数。
步骤三：代入公式计算人数或物品总数
根据确定的盈亏类型，将分配差和盈亏数代入相应的公式计算出人数。再根据人数和题目中的分配条件求出物品总数。例如，在一盈一亏型问题中，计算出人数后，通过其中一种分配方式（如每人分的数量乘以人数再加上盈数或减去亏数）来计算物品总数。

4. 盈亏问题的拓展与变形
物品不统一的情况：有时候题目中的物品在分配过程中会发生变化，比如将苹果换成桔子，或者分配的单位发生改变。这时需要先将物品统一，再按照盈亏问题的基本方法来解题。例如，开始分苹果，后来分桔子，需要根据苹果和桔子的换算关系将它们统一成同一种物品进行计算。
分配对象不统一的情况：分配对象的数量可能会因为条件的变化而改变，如原来按小组分配，后来按个人分配。需要将分配对象的数量进行合理的转化，才能正确使用盈亏问题的公式。例如，已知按小组分配时的盈亏情况，要转化为按个人分配时的盈亏情况，需要根据小组人数等条件来计算。
与其他数学概念结合的情况：盈亏问题可能会和比例、分数等概念结合。比如，分配的比例不同导致盈亏，或者分配的数量是分数形式等。这就需要综合运用多种数学知识来解题，先根据比例或分数的条件求出实际的分配数量差异和盈亏情况，再运用盈亏问题的公式进行计算。