小学奥数题型之鸡兔同笼问题

重庆千豪教育

2024-11-27

导语

鸡兔同笼问题乃是我国古代久负盛名的数学趣题，其最早见诸于《孙子算经》。该问题具备深厚的历史文化底蕴，充分展现出古人在解决数学问题方面所蕴含的卓越智慧。

1. 鸡兔同笼问题的背景和概念
起源与背景：鸡兔同笼问题是我国古代著名的数学趣题，最早记载于《孙子算经》。它具有浓厚的历史文化背景，反映了古人在数学问题解决方面的智慧。
基本概念：已知鸡和兔的总头数和总脚数，求鸡和兔各有多少只。通常假设笼子里全是鸡或者全是兔，然后根据脚数的差异来计算鸡和兔的实际数量。例如，一个笼子里有鸡和兔共10个头，28只脚，要算出鸡和兔分别有几只。

2. 常用解题方法
假设法
假设全是鸡：
思路：假设笼子里全部是鸡，那么总脚数就会比实际的脚数少，因为每把一只兔当成鸡就会少算\(4 - 2 = 2\)只脚。
示例：在上面提到的有10个头，28只脚的例子中，假设全是鸡，那么总脚数为\(10×2 = 20\)只。实际有28只脚，少了\(28 - 20 = 8\)只脚。每把一只兔当成鸡少算2只脚，所以兔的数量为\(8÷2 = 4\)只，鸡的数量为\(10 - 4 = 6\)只。
假设全是兔：
思路：假设全部是兔，总脚数会比实际脚数多，因为每把一只鸡当成兔就会多算\(4 - 2 = 2\)只脚。
示例：同样对于10个头，28只脚的情况，假设全是兔，总脚数为\(10×4 = 40\)只。比实际多了\(40 - 28 = 12\)只脚。每把一只鸡当成兔多算2只脚，所以鸡的数量为\(12÷2 = 6\)只，兔的数量为\(10 - 6 = 4\)只。
抬脚法（古人解法）
思路：让鸡和兔都抬起一半的脚，此时脚的总数为总脚数的一半。然后用这个数字减去头的总数，得到的就是兔的数量。因为鸡抬起一半脚后，脚数和头数相等，而兔抬起一半脚后，脚数比头数多1。
示例：对于10个头，28只脚的问题，总脚数的一半是\(28÷2 = 14\)只。用14减去头的总数10，得到\(14 - 10 = 4\)只，这就是兔的数量，鸡的数量就是\(10 - 4 = 6\)只。
方程法
思路：设鸡有\(x\)只，兔有\(y\)只。根据头的总数可列方程\(x + y =头的总数\)，根据脚的总数可列方程\(2x + 4y =脚的总数\)，然后联立方程组求解。
示例：对于有10个头，28只脚的情况，设鸡有\(x\)只，兔有\(y\)只，可得方程组\(\begin{cases}x + y = 10\\2x + 4y = 28\end{cases}\)。由第一个方程可得\(x = 10 - y\)，将其代入第二个方程可得\(2(10 - y)+4y = 28\)，即\(20 - 2y + 4y = 28\)，\(2y = 8\)，解得\(y = 4\)，则\(x = 10 - 4 = 6\)。

3. 鸡兔同笼问题的变形和拓展
物品数量与价格问题：例如，小明去买文具，铅笔和钢笔一共买了15支，铅笔每支1元，钢笔每支3元，一共花了35元，问铅笔和钢笔各买了几支。这里可以把铅笔看成鸡，钢笔看成兔，数量相当于头数，价格相当于脚数，用同样的方法求解。
不同动物组合问题：一个农场里有鸵鸟和长颈鹿，它们共有30个头，84只脚，问鸵鸟和长颈鹿各有多少只。这也是鸡兔同笼问题的变形，只要明确每种动物的脚数，就可以按照常规方法解题。
与其他数学概念结合的问题：如在鸡兔同笼的基础上，加入倍数关系或者分数关系。例如，鸡的数量是兔的数量的2倍，鸡兔共有40只脚，问鸡兔各有多少只。需要先根据倍数关系设未知数，再结合脚数的条件列方程求解。

4. 奥数常见题型：鸡兔同笼问题

基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；

基本思路：

① 设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：

②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；

③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；

④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。