高中数学重要考点讲解：复数

复数作为数学中的一个重要概念，不仅在理论数学中占有重要地位，也在实际应用中发挥着重要作用。在高中数学中，复数是一个重要的考点，要求学生掌握复数的基本概念、性质和运算方法。下面将介绍高中数学复数的重要考点，帮助学生更好地掌握复数知识。

一、基本概念

1.定义：

形如a+bi的数叫做复数(a，b∈R)，其中a叫做复数的实部，b叫做虚部

2.分类：

实数：当b=0时，复数a+bi为实数

虚数：当b≠0时，复数a+bi为虚数

纯虚数：当a=0，b≠0时，复数a+bi为纯虚数

3.两个复数相等的定义：

如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.

例如：如果a+bi=c+di，则a=c且b=d，另外当a+bi=0，则a=0且b=0

备注：

两个虚数(b≠0)是不能比较大小的，即使是纯虚数也是不能比较大小的，具体举例如下：

①3+i与8+2i，虽然后面的虚数的实部跟虚部都是大于前面的虚数，但是仍不能比较大小。

②2+i与4+2i虽然后面的虚数是前面虚数的2倍，但是不能比较大小

③3i跟5i，两个都是纯虚数，但是不能比较大小的

4.共轭复数：

当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.

二、几何意义

1.复平面定义：

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.

实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

2.几何意义：

复数z=a+bi与复平面内的点(a,b)以及平面向量,其中a，b∈R，是一一对应关系(复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量)

三、复数的性质

共轭复数：若复数为a+bi，则其共轭复数为a-bi。共轭复数在复数运算中有着重要的应用，例如求复数的模和辐角等。

模：复数的模定义为|z|=√(a²+b²)，其中z=a+bi。模是复数的一个重要性质，它表示复数在复平面上到原点的距离。

辐角：复数的辐角是指复数在复平面上与正实轴之间的夹角，用arg(z)表示。辐角具有多值性，但通常取主值，即-π<arg(z)≤π。

四、复数运算

1.加、减、乘、除运算：

设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i

z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i

z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i

z1·z2=(a1+b1i)·(a2+b2i)

=a1a2+a1b2i+a2b1i+b1b2i2

=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i

2.其他结论

①i1=i, i2=-1，i3=-i，i4=1

备注：求in只需将n除以4看余数是几就是i的几次方

②in+in+1+in+2+in+3=0

③(1+i)2=2i，(1-i)2=-2i

五、复数的应用

复数在实际应用中有着广泛的应用，例如在电路分析、信号处理、量子物理等领域中都有着重要的应用。在高中数学中，复数的一个重要应用是求解一元二次方程，当方程的判别式Δ<0时，方程的解为复数，这时就需要利用复数的性质进行求解。

六、命题特征

三年三考，每年一题，复数是以考查复数的四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小。考查代数运算的同时，主要涉及考查的概念有：复数的代数形式、复数的模、复数的几何意义。

七、考点频度

高频考点：复数的四则运算。

中频考点：复数的模、共轭复数、复数的代数形式。

低频考点：复数的几何意义。

*高考数学二轮复习计划分享

*女生高中3+1+2选哪三科最吃香？

*高中数学学习五种有效方式

*新乡牧野区一对一艺考文化课辅导学校选哪家？

*新乡卫滨区励学一对一中考冲刺班在什么位置？